Pembahasan Soal OSK Komputer
Berikut ini beberapa pembahasan soal-soal OSK / KSN-K Komputer.
Soal no 9 OSK 2019.
Pak Dengklek sangat suka makan bakso. Oleh karena itu, pada suatu hari ia berpikir jika ia ingin memotong sebuah bakso sebanyak 3 kali, berapa paling banyak jumlah potongan yang bisa ia dapat?
Pembahasan
Banyaknya potongan maksimum yang bisa didapatkan oleh pak dengklek adalah 2^n = 8 potongan.
Dengan aturan pemotongan sebagai berikut:
- Pemotongan secara horizontal
- Pemotongan secara vertikal
- pemotongan pada tengah bakso. (secara melingkar)
Soal no 26 OSK 2019.
Pak Dengklek sedang melatih Beklek, bebek kesayangannya, untuk mengikuti lomba lari antar kandang bebek. Setiap harinya Beklek harus berlari berkeliling kolam dan Pak Dengklek mencatat waktu tempuh setiap putarannya. Dari data waktu yang dicatatnya, Pak Dengklek ingin mengetahui deretan putaran- putaran manakah Bekwat berada pada kondisi terbaiknya. Selama ini Beklek memiliki rata-rata p=14 per putaran. Setiap Beklek berlari dengan waktu q maka Pak Dengklek memberi nilai sebesar (p-q). Kondisi terbaik adalah ketika total nilai dalam deretan itu adalah sebesar-besarnya dan dengan panjang deretan putaran sependek-pendeknya. Misalnya suatu hari catatan waktunya adalah
| Putaran ke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Waktu tempuh | 13 | 13 | 13 | 18 | 12 | 13 | 13 | 17 |
Kondisi terbaiknya adalah mulai dari putaran ke 5 sampai dengan ke 7 dengan total 4 point. Untuk data catatan waktu berikut berapa total nilai pada putaran terbaiknya Beklek hari itu?
| Putaran ke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| Waktu tempuh | 13 | 15 | 11 | 12 | 16 | 16 | 15 | 12 | 14 | 16 | 12 | 12 | 15 | 12 | 16 | 11 | 15 | 15 |
Pembahasan
Soal diatas dapat diselesaikan menggunakan kadane algorithms atau dynamic programming. Selain itu, problem di atas juga dapat dikenal sebagai Largest Sum Contiguous Subarray Problem atau Maximum subarray problem.
| Kadane algorithm pseudocode |
| best_sum = INT_MIN current_sum = 0 Loop for each element of the array current_sum = Max(0, current_sum + a[i]) best_sum = Max(best_sum, current_sum) return best_sum |
Pada problem diatas kita diminta untuk mencari jumlah nilai terbesar dari suatu array. Array yang diberikan pada soal, semua nilai pada baris waktu tempuhnya diubah menjadi p-q seperti pada soal. Sehingga terbentuk tabel sebagai berikut.
| Putaran ke | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| p-q | 1 | -1 | 3 | 2 | -2 | -2 | -1 | 2 | 0 | -2 | 2 | 2 | -1 | 2 | -2 | 3 | -1 | -1 |
Dengan menggunakan kadane algorithms didapatkan total nilai terbaiknya adalah 6. Dimulai dari putaran ke-1 sampai dengan putaran ke 16.
Soal no 22 OSK 2019.
Pada ulang tahunnya yang ke 67 tahun depan, pak Dengklek ingin mengundang sedikit mungkin orang sehingga paling tidak ada 67 orang yang berulang tahun pada hari yang sama. Berapakah orang yang harus ia undang untuk pestanya? (diasumsikan pada setiap tahun hanya ada 365 hari)
Pembahasan
Persoalan di atas dapat diselesaikan menggunakan prinsip sarang merpati (Pigeonhole Principle). Pada Pigeonhole Principle, Jika kita memiliki n buah benda yang akan ditempatkan pada m kontainer (tempat) dengan nilai n > m, maka setidaknya satu container harus berisi lebih dari satu item. Pada persoalan diatas, banyaknya orang yang berulang tahun dapat kita sebut sebagai n dan kontainernya atau m adalah banyaknya hari dalam setahun.
Berdasarkan hal tersebut dapat banyaknya orang yang diundang adalah 365*66+1= 24.091. Akan tetapi karena pada hari tersebut juga pak Dengklek berulang tahun maka jumlah orang yang perlu ia undang untuk mendapatkan hal yang ia inginkan adalah 24.091 – 1 = 24090 Orang.
Soal no 29 OSK 2019.
Saatnya makan siang, para bebek akan diatur untuk duduk di ruang makan pada kursi-kursi yang kebetulan sudah dinomori dari 0, 1, 2, … 14. Supaya ada variasi urutan duduk maka Pak Dengklek akan mendudukan para bebek menurut aturan sebagai berikut. Berdasarkan urutan awal dengan angka menyatakan tinggi badan: 44, 94, 83, 42, 38, 36, 20, 49, 33, 92, 34, 32, 13, 24, 53. Setiap bebek mulai dari yang pertama hingga terakhir harus berhitung sebagai berikut.
- Jika berat badan X maka dapatkan Y = (X*11) mod 15.
- Jika kursi nomor Y kosong, maka bebek dengan berat badan X menempati posisi Y.
- Jika tidak, (sudah ada yang menempati), maka ulangi memeriksa kursi-kursi berikutnya (atau no Y+1, Y+2, …) hingga ada yang kosong atau jika sampai nomor 14 terisi, ia melanjutkan memeriksa dari kursi nomor 0, nomor 1, dan seterusnya.
Bebek dengan berat badan 44, akan menempati kursi 4, karena 44*11 mod 15 = 4 (masih kosong).
Bebek dengan berat badan 94, akan menempati kursi 14, karena 94*11 mod 15 = 14 (masih kosong).
Bebek dengan berat badan 83, akan menempati kursi 13, karena 83*11 mod 15 = 13 (masih kosong).
Bebek dengan berat badan 42, akan menempati kursi 12, karena 42*11 mod 15 = 12 (masih kosong).
Bebek dengan berat badan 38, akan menempati kursi 0, karena 42*11 mod 15 = 13 (sudah terisi), no 14 juga sudah terisi, baru di 0 masih kosong. Dan seterusnya.
Pertanyaan: Bebek dengan berat badan berapakah yang menempati kursi no 9?
Pembahasan
Persoalan ini dapat diselesaikan dengan melakukan tracing secara manual sebagai berikut:
Bebek dengan berat badan 92, akan menempati kursi 7, karena 42*11 mod 15 = 7
Bebek dengan berat badan 34 akan menempati kursi 1, karena 14 (sudah terisi), 0 (sudah terisi)
Bebek dengan berat badan 32, akan menempati kursi 8, karena 32*11 mod 15 = 7 (sudah terisi), lanjut ke kursi 8
Bebek dengan berat badan 13 akan menempati kursi 9, karena 13*11 mod 15 = 8 (sudah terisi) lanjut ke kursi 9.
Maka bebek yang duduk di kursi nomor 9 adalah bebek yang memiliki berat 13.
Soal no 25 OSK 2018.
Untuk ulang tahun pak Dengklek, ibu Dengklek membuat kue yang dibubuhi dengan 8 macam zat pelezat. Ternyata, setelah dibakar, kuenya berwarna hijau. Walaupun demikian, para tamu mengatakan bahwa kue itu sangat enak. Bu Dengklek ingin membuat kue itu lagi, namun tak ingin warnanya hijau, dengan mengkombinasikan zat pelezat yang akan dicampurkan. Setelah melakukan konsultasi ke bu Ganesh, ternyata hanya salah satu zat pelezat yang menyebabkan warna kuenya hijau. Berapa kali usaha minimal terburuk pemilihan kombinasi yang harus dicoba bu Dengklek hingga bisa diketahui zat yang menyebabkan kuenya berwarna hijau!
Pembahasan
Persoalan ini merupakan salah satu persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan konsep binary search. Binary Search merupakan salah satu metode pencarian dengan cara membagi 2 partisi hingga yang dicari ditemukan.
Untuk persoalan diatas, kita dapat melakukan pencarian sebagai berikut.
- Bagi 8 zat pelezat menjadi 2 bagian/ partisi, partisi A : 4 pelezat dan partisi B : 4 pelezat.
- Pilih salah satu dari partisi tadi yang menghasilkan warna hijau. Kemudian dibagi lagi menjadi 2 bagian / partisi yaitu partisi A : 2 pelezat dan partisi B : 2 pelezat.
- Pilih salah satu dari partisi tadi yang menghasilkan warna hijau. Kemudian dibagi lagi menjadi 2 bagian / partisi yaitu partisi A : 1 pelezat dan partisi B : 1 pelezat.
Dari 2 partisi terakhir kita dapat menentukan zat pelezat mana yang menghasilkan warna hijau. Sehingga usaha minimal terburuk untuk mendapatkan zat pelezat yang menghasilkan warna hijau adalah 3.
Soal no 22 OSK 2018.
Pak Dengklek ingin mengikuti kursus beternak bebek unggul. Kursus tersebut terdiri dari modul C1 s.d. C12, dan setiap modul membutuhkan 3 bulan. Urutan modul ditunjukkan pada graf sebagai berikut, dimana arah panah: C1-C2 berarti pak dengklek harus lulus C1 sebelum mengikuti C2. Pak Dengklek harus lulus C4 dan C13 sebelum mengikuti C14. Beberapa modul boleh diikuti secara paralel, pak Dengklek dapat melakukan sekaligus karena beliau sangat pandai.
Jika setiap modul membutuhkan 3 bulan, berapa lama minimum pak Dengklek dapat menyelesaikan kursusnya?
Pembahasan
Persoalan diatas dapat diselesaikan menggunakan salah satu algoritma graf yang ada yaitu topologi sort. Adapun algoritma dari topologi sort sebagai berikut:
- Buat sebuah antrian yang memuat nama kursus
- Untuk setiap kursus x yang in_degree(x)-nya bernilai nol, masukkan x ke dalam antrian
- Setiap kursus yang dapat diikuti setelah mengikuti kursus x (x di dalam antrian), buang x, buang jalur dari kursus x ke kursus yang berikutnya
- Jika semua kursus sudah diikuti alias antriannya sudah kosong, berhenti. Jika antrian belum kosong, ulangi langkah ke-2
Setelah menjalankan algoritma tersebut didapatkan urutan pengambilan kurus sebagai berikut :
(C1, C13), (C2, C4), (C4), (C3, C5), (C6, C8, C9, C10), (C11), dan (C12). sehingga didapatkan 7 buah pasangan pengambilan kursus. Karena dalam pengambilan sebuah pasangan pada suatu kursus membutuhkan waktu 3 bulan, maka didapatkan total waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan semua kursusnya adalah 3 * 7 = 21 Bulan.
Soal no 28 OSK 2018.
Pak Dengklek membuat suatu permainan bagi para bebeknya, membawa mereka ke dalam satu goa yang petanya sebagai berikut. Lingkaran adalah ruangan, dan arah panah menunjukkan lorong untuk mencapai suatu ruangan dari sebuah ruangan. Angka menunjukkan jumlah permata dalam setiap ruangan.
Hadiah akan diberikan kepada bebek, yang berhasil mengumpulkan sejumlah permata yang paling banyak, Berapa maksimum permata yang dapat dikumpulkan mulai dari pintu masuk (kiri bawah) sampai keluar (Kanan atas)?
Pembahasan
Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan salah satu konsep yang ada pada computer science yaitu dynamic programming. Dynamic programming secara sederhana adalah sebuah metode untuk menyelesaikan permasalahan dengan membagi permasalahan tersebut menjadi ukuran yang lebih kecil. Pada persoalan ini, kita dapat membuat tabel dengan ukuran yang sama seperti pada peta yang ada pada soal. Adapun cara pengisian nilai dari tabel tersebut mengikuti cara berikut:
- Nilai paling bawah kiri pada tabel mengikuti nilai dari yang ada pada peta T[ i, j ] = P[ i, j ] dan nilai ini merupakan base case dari persoalan ini.
- Jika sel pada tabel berada pada posisi paling bawah (baris terbawah) maka nilainya adalah T[ i, j ] = P[ i, j ] + T[ i, j – 1 ]
- Jika sel pada tabel berada pada kolom paling kiri maka nilainya adalah nilai dari sel itu pada peta ditambah dengan nilai pada sel yang ada dibawahnya pada tabel. ( T[ i, j ] = P[ i, j ] + T[ i + 1, j ] )
- Selain dari itu maka nilai pada tabelnya adalah sebagai berikut T[ i, j ] = P[ i, j ] + Maksimum( T[ i + 1, j ], T[ i , j – 1 ])
Dan pengisian dari tabel dilakukan dari bawah ke atas, sehingga didapatkan nilai sebagai berikut:
| I, J | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 12 | 19 | 22 | 28 |
| 2 | 10 | 12 | 18 | 23 |
| 3 | 7 | 8 | 15 | 21 |
| 4 | 3 | 6 | 9 | 13 |
Titik akhir dari ruangan berdasarkan soal adalah pintu kanan paling atas, yang berarti nilai yang digunakan adalah nilai pada T[1, 4]. Sehingga total maksimum yang dapat diperoleh bebek adalah 28 permata.
Soal no 12 OSK 2018.
Graph di samping kanan menggambarkan peternakan dimana Pak Dengklek tinggal, yang terdiri dari 10 kandang dan 16 jalan satu arah. Pak Dengklek sedang berada di kandang nomor 1 dan ingin menuju kandang nomor 10. Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditempuh Pak Dengklek? Dua arah. Pak Dengklek sedang berada di kandang nomor 1 dan ingin menuju kandang nomor 10. Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditempuh Pak Dengklek? Dua rute dikatakan berbeda jika pak Dengklek melalui 2 jalan yang berbeda.
Pembahasan
Persoalan diatas, dapat diselesaikan menggunakan dynamic programming (DP). Pada DP yang digunakan pada persoalan berikut mengikuti aturan berikut:
- Nilai base case dari persoalan tersebut berada pada F(1) dengan nilai 1. Yaitu hanya terdapat 1 jalan menuju pada kandang satu.
- Persoalan ini dapat dirumuskan sebagai sebuah fungsi sebagai berikut F(nomor kandang) = jumlah semua fungsi F yang terhubung dengan nomor kandang).
- Fungsi F(x) menyatakan banyaknya rute yang berbeda menuju kandang nomor dari kandang nomor 1.
Berdasarkan hal tersebut maka kita akan mendapatkan nilai dari fungsi yang ada pada soal sebagai berikut:
- F(1) = 1.
- F(2) = F(1) = 1.
- F(4) = F(1) = 1.
- F(5) = F(4) = 1.
- F(3) = F(1) + F(4) = 1 + 1 = 2.
- F(6) = F(3) + F(5) = 2 + 1 = 3.
- F(7) = F(2) + F(6) = 1 + 3 = 4.
- F(8) = F(5) + F(6) = 1 + 3 = 4.
- F(9) = F(6) + F(8) = 3 + 4 = 7.
- F(10) = F(6) + F(7) + F(9) = 3 + 4 + 7 = 14.
Berdasarkan nilai-nilai fungsi di atas didapatkan bahwa banyaknya jalan berbeda yang dapat ditempuh oleh pak dengklek untuk menuju kandang nomor 10 dari kandang nomor 1 adalah F (10 ) = 14 rute.
Soal no 8 OSK 2018.
Ada 3 kotak diberi label yang salah. Kotak A seharusnya berisi 2 bola biru, kotak B seharusnya berisi 2 bola merah, kotak C seharusnya berisi 1 bola merah dan 1 bola biru. Dalam satu langkah, Anda diperbolehkan untuk mengambil 1 bola dari salah satu kotak, dan melihatnya tanpa melihat bola lainnya lalu mengembalikannya lagi. Berapa minimum langkah yang diperlukan agar Anda dapat menentukan label yang benar dari tiap kotak?
Pembahasan
Pada persoalan tersebut didapatkan beberapa fakta berikut:
- Terdapat 3 kotak dan telah diberikan label tetapi label yang digunakan salah.
- Terdapat 3 label kotak yaitu biru biru, merah merah dan biru merah.
- Pengambilan dilakukan 1 kali dan bola yang diambil akan dikembalikan ke tempat asalnya.
Berdasarkan fakta fakta tersebut, minimum langkah yang diperlukan agar Anda dapat menentukan label yang benar dari tiap kotak adalah 1 langkah. Hal itu terjadi karena misal kita mengambil bola di kotak C, jika dapat bola BIRU berarti kotak A berisi Merah-Merah, kotak B berisi Biru-Merah, dan kotak C berisi Biru-Biru. jika ternyata dari kotak C kita dapat bola MERAH, berarti kotak A berisi Merah-Biru, kotak B berisi Biru-Biru, kotak C berisi Merah-Merah. Kedua hal tersebut dapat disimpulkan karena terdapat fakta 1 yang menyatakan bahwa kotak tersebut diberi label yang salah.
Soal no 4 OSK 2017.
Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi lantai sebuah ruangan berukuran 2×8 dengan menggunakan ubin berukuran 2×1, jika harus terdapat tepat 2 ubin yang dipasang secara vertical?
Pembahasan
Berdasarkan persoalan diatas, salah satu kombinasi penyusunan ubin terlihat pada gambar berikut:
Pada gambar diatas terlihat keseluruhan lantai terbagi menjadi 5 bagian yaitu 2 bagian yang menggunakan ubin vertikal dan 3 bagian yang menggunakan ubin horizontal. Berdasarkan hal tersebut kita dapat mengatakan banyaknya cara berbeda penyusunan ubin tersebut adalah Kombinasi 5 dari 3. 5C3= (5! * 2!) / 3!=10 Cara berbeda.
Soal no 3 OSK 2017.
Terdapat sebuah daftar yang memuat 2017 pernyataan sebagai berikut:
- Pernyataan nomor 1: “Terdapat tepat 1 pernyataan dalam daftar ini yang salah.”
- Pernyataan nomor 2: “Terdapat tepat 2 pernyataan dalam daftar ini yang salah.”
- Pernyataan nomor 3: Terdapat tepat 3 pernyataan dalam daftar ini yang salah.”
- …
- Pernyataan nomor 2017: “Terdapat tepat 2017 pernyataan dalam daftar ini yang salah. “
Pernyataan nomor berapakah yang benar jika ternyata hanya ada satu yang benar?
Pembahasan
Berdasarkan soal tersebut terdapat 2017 pernyataan dan hanya terdapat satu pertanyaan yang benar. Maka berdasarkan kedua hal tersebut, dapat dipastikan pernyataan yang benar adalah pernyataan nomor 2016. Karena hanya ada 1 pernyataan yang benar maka 2016 pernyataan yang lainnya dapat dipastikan salah.
Soal no 8 OSK 2017.
Terdapat 6 buah pekerjaan, A, B, C, D, E, dan F. Pekerjaan ini harus dikerjakan dengan mengikuti aturan sebagai berikut:
- Pekerjaan F harus dikerjakan sebelum pekerjaan A
- Pekerjaan B harus dikerjakan sebelum pekerjaan D
- Pekerjaan E dapat dikerjakan jika pekerjaan B sudah dikerjakan
- Sebelum mengerjakan pekerjaan B, pekerjaan C harus sudah dilakukan
- Pekerjaan A harus dikerjakan sebelum pekerjaan B
Salah satu urutan pengerjaan pekerjaan yang dapat dilakukan adalah…
a. D, B, F, C, A, E
b. C, F, A, D, B, E
c. C, B, F, A, E, D
d. F, C, A, D, B, E
e. F, A, C, B, E, D
Pembahasan
Dari aturan pekerjaan yang ada pada soal kita dapat mengurutkan keterkaitan antara pekerjaan satu dengan pekerjaan lainnya sebagai berikut:
- F => A
- B => D, E
- C, A => B
Berdasarkan penyederhanaan diatas maka urutan pengerjaannya menjadi sebagai berikut.
- F => C, A => B => D, E
- C => F => A => B => D, E
Sesuai dengan kombinasi tersebut maka salah satu urutan pengerjaannya adalah F, A, C, B, E, D (e).
Soal no 5 OSK 2008.
Nainggolan 2 tahun lebih muda dari pada Marno yang usianya dua lipat usia dari Lisma. Jika umur ketiganya dijumlahkan, totalnya adalah 23 tahun, berapakah umur Marno ?
a. 5 tahun
b. 8 tahun
c. 9 tahun
d. 10 tahun
e. 12 tahun
Pembahasan
Dengan pemisalan matematika
N = M – 2…(p1)
M = 2L…(p2)
Dengan substitusi p2 ke p1 didapatkan
N = 2L – 2
Umur semua dijumlahkan 23 yang berarti
N + M + L = 23
2L – 2 + 2L + L = 23
Jumlahkan kedua ruas dengan 2 menjadi
5L = 25
L = 5. Karena umur Marno adalah 2x umur Lisma, maka umur Marno adalah 10 tahun.
Soal no 7 OSK 2009.
Di dalam suatu keranjang terdapat sejumlah bola kelereng: 5 butir berwarna kuning, 6 butir berwarna biru dan 4 butir berwarna merah. Dengan ditutup matanya, Adi diminta untuk mendapatkan 3 butir kelereng yang warnanya sama. Untuk memastikan bahwa ia mendapatkan ketiga kelereng itu minimal berapa butir kelereng yang harus diambil dari keranjang?
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
E. 11
Pembahasan
Dimulai dari kasus dimana Adi memilih 3 kelereng langsung. Terdapat probabilitas M – K – B yang mana kemungkinan 3 kelereng tersebut adalah warna-warna yang berbeda, sehingga tidak dapat dipastikan dengan memilih 3 kelereng, ia akan mendapatkan 3 kelereng dengan warna yang sama.
Jika kita menambah pengambilan kelereng menjadi 6 kelereng, terdapat probabilitas M – K – B – M – K – B yang mana 
Jika kita menerapkan Pigeonhole Principle, yang dimana pasti salah satu kelereng tersebut berkorespondensi pada salah satu warna tersebut. Saat kita mengambil 1 kelereng lagi dari pengambilan 6 kelereng, terdapat probabilitas M – K – B – M – K – B – X, kemungkinan X untuk menjadi salah satu warna tersebut memastikan bahwa kita akan mendapatkan 3 kelereng yang berwarna sama. Sehingga butir-butir kelereng minimal yang harus diambil adalah 7 butir.
Soal no 2 OSK 2010.
Adi dan sepuluh temannya sedang mendapatkan tugas prakarya. Mereka harus membuat dari kertas warna-warni bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 100 kemudian menempelkannya di selembar karton yang panjang. Adi kebagian untuk membuat semua angka lima (5) yang dibutuhkan. Berapa banyak angka lima yang harus Adi buat?
Pembahasan
Angka berawalan 5 : 5, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. Total 10 angka
Angka berakhiran 5 : 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Total 10 angka
Jadi jawabannya : 20
Soal no 1 OSK 2008.
Jika w, x, y dan z adalah ekspresi bilangan bulat, masing-masing persamaan berikut ini memiliki nilai yang sama, KECUALI
a. wx + wy + wz
b. 3w + x + y + z
c. (x + y + z)w
d. wx + w(y+z)
e. w(x + y) + wz
Pembahasan
Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian, opsi A bisa diubah menjadi seperti opsi C,D dan E. Begitu pula yang lain dan sebaliknya. Namun opsi B tidak bisa. Dengan demikian persamaan yang memiliki nilai berbeda adalah (b). Bisa dibuktikan dengan memisalkan masing-masing nilai w, x, y dan z.
Soal no 1 OSK 2012.
Bilangan prima adalah bilangan bulat yang hanya habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri. Ada berapa banyak bilangan prima pada rentang 1..100?
Pembahasan
Bilangan prima dari 1 sampai 100 adalah
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.
Jadi banyak bilangan prima pada 1..100 adalah 25
Soal no 2 OSK 2012.
Jika N! adalah 1x2x3x…xN, berapakah angka terakhir bukan 0 dari 20!
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Agar angka 0 di akhir tidak terhitung, maka kita dapat mengekstrak semua nilai yang dapat memiliki kelipatan 5 dan menjadikannya bilangan 10n, seperti 10 dan 100. Pada kasus ini angka tersebut adalah 5, 10, 15, dan 20. Masing-masing bilangan tersebut dapat diekstrak menjadi (5 x 1), (5 x 2), (5 x 3) dan (5 x 4). Sehingga perhitungannya menjadi sebagai berikut:
20! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19 x 20
= 1 x 2 x 3 x 4 x (5 x 1) x 6 x 7 x 8 x 9 x (5 x 2) x 11 x 12 x 13 x 14 x (5 x 3) x
16 x 17 x 18 x 19 x (5 x 4) [Hapus angka berwarna merah dan angka satu]
= 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13x 14 x 3 x 16 x 17 x 18 x 19 [tambahkan modulo 10]
= 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13x 14 x 3 x 16 x 17 x 18 x 19 mod 10
= 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 6 x 7 x 8 x 9 mod 10
= 7900913664 mod 10
= 4 [Jawaban C]
Berikut ini beberapa catatan yang dilakukan dari perhitungan di atas :
- Penghapusan angka berwarna merah terjadi karena hasil perkaliannya merupakan penambahan angka 0 di akhir bilangan dengan hasil perkaliannya berupa 10 dan 100.
- Penghapusan angka 1 bertujuan untuk mempermudah perhitungan.
- Penggunaan modulo 10 bertujuan untuk mempermudah perhitungan dan untuk mencari digit terakhirnya juga.
Soal no 6 OSK 2007.
Enam ekor ayam masuk ke dalam 3 buah kandang yang semula kosong. Berapa jumlah maksimum yang mungkin ayam-ayam dalam satu kandang?
Pembahasan
Ada 3 buah kandang kosong yang tidak diketahui kapasitasnya (anggap memiliki kapasitas tak terbatas). Agar maksimal letakkan semua ayam dalam salah satu kandang. Dengan demikian jumlah maksimum ayam dalam satu kandang adalah 6 ayam.
Soal no 3 OSK 2008.
Jika Susan memiliki uang 5 ribu lebih banyak dari pada Tomi, dan Tomi memiliki 2 ribu lebih banyak dari pada Edi, bagaimanakan mereka harus saling berbagi untuk memastikan ketiganya memiliki jumlah uang yang sama ?
a. Susan harus memberikan 3 ribu kepada Edi dan seribu kepada Tomi.
b. Tomi harus memberikan 4 ribu kepada Susan dan Susan harus memberi 5 ribu kepada Edi.
c. Edi harus memberi Susan seribu dan Susan juga harus memberi Tomi seribu.
d. Susan harus menyerahkan kepada Edi 4 ribu dan Tom juga harus memberi Edi 5 ribu
e. Baik Susan maupun Edi harus memberi Tom 7 ribu.
Pembahasan
Model matematika dari soal tersebut adalah
S = T + 5000…(p1)
T = E + 2000…(p2)
Dengan substitusi p2 ke p1 didapatkan
S = E + 2000 + 5000
S = E + 7000
Total uang mereka adalah E + T + S
= E + E + 2000 + E + 7000
= 3E + 9000
Agar semua memiliki jumlah uang yang sama, maka setiap anak harus memiliki uang sejumlah rata-rata yaitu E + 3000. Dengan demikian E memerlukan 3000, T butuh 1000 sedangkan S kelebihan 4000. Sehingga Susan harus memberikan 3 ribu kepada Edi 3 ribu dan seribu kepada Tomi. (a).
Soal no 13 OSK 2008.
Sebuah laci berisikan 4 buah kaus kaki berwarna hitam, 4 buah kaus kaki berwarna putih dan 4 buah kaus kaki berwarna merah. Jika kita tidak dapat melihat isi laci, berapakah jumlah kaus kaki minimum yang perlu diambil agar kita pasti mendapatkan setidaknya sepasang kaus kaki dengan warna yang sama?
Pembahasan
Pada laci tersebut terdapat 3 warna kaus kaki yang berbeda. Kemungkinan terburuknya adalah ketika mengambil 3x kaus kaki selalu mendapatkan warna yang berbeda (3x mengambil dapat warna hitam, putih, merah). Kemudian jika mengambil lagi satu kali, entah apapun warnanya pasti berpasangan dengan yang sebelumnya. Sehingga banyak mengambil minimum adalah 4 kali.
Soal no 14 OSK 2008.
Ada tiga buah kotak tertutup yang masing-masing berisikan 2 buah kelereng: kotak pertama berisikan dua kelereng putih, kotak kedua berisikan dua kelereng hitam, dan kotak ketiga berisikan satu kelereng putih dan satu kelereng hitam. Sewaktu akan diberi label, secara tidak sengaja urutan ketiga buah kotak itu tertukar sedemikian sehingga isi setiap kotak tidak sama dengan apa yang tertulis pada label kotak tersebut. Dengan asumsi kita hanya bisa mengetahui isi kotak dengan mengeluarkan kelereng satu per satu tanpa melihat ke dalam kotak, berapakah jumlah minimal seluruh kelereng yang harus dikeluarkan dari kotak-kotak tersebut agar kita dapat memastikan isi dari ketiga kotak tersebut?
Pembahasan
Banyaknya pengambilan cukup 1x yaitu ambil yang memiliki label campuran. Jika kelereng yang diambil berwarna putih, maka label yang benar adalah putih. Sedangkan label yang mulanya berwarna putih adalah hitam dan label yang mulanya hitam, pasti campuran (karena tidak akan ada label yang tetap). Begitu pula jika kelereng yang diambil pada label campuran adalah hitam. Label hitam berarti yang benar adalah putih dan yang putih harusnya berwarna campuran.
Soal no 15 OSK 2008.
Diketahui sebuah barisan bilangan yang dibentuk berdasarkan aturan:
- Mulai dari sebuah bilangan dua digit;
- Bilangan berikutnya adalah hasil perkalian dari digit-digit bilangan sebelumnya
- Berhenti ketika banyaknya digit = 1
Contoh: jika dimulai dari bilangan 88 maka berikutnya akan diperoleh 64, 24, dan 8. Barisan bilangan yang terbentuk (termasuk 88) memiliki panjang 4.
Dalam soal ini, temukanlah bilangan dua digit yang dengan aturan di atas dapat menghasilkan barisan bilangan dengan panjang 5 (termasuk bilangan itu sendiri). Berapakah bilangan tersebut?
a. 98
b. 77
c. 97
d. 88
e. 79
Pembahasan
Cara termudah adalah dengan mencobanya satu-satu.
A. 98→72→14→4
B. 77→49→36→18→8
C. 97→63→18→8
D. 88→64→24→8
E. 79→63→18→8
Jadi bilangan yang memiliki panjang bilangan 5 adalah 77 (b ).
Soal no 22 OSK 2008.
Jika diketahui bahwa tepat dua pernyataan mengenai sebuah keluarga yang terdiri atas ayah, ibu, dan 2 orang anak kandung di bawah ini benar dan diketahui bahwa Ghani dan Arman berjenis kelamin laki-laki sementara Kiki dan Santi adalah perempuan. Diketahui sejumlah fakta berikut:
- Ghani dan Santi memiliki hubungan darah
- Arman lebih tua dari Ghani
- Kiki lebih muda dari Arman
- Kiki lebih tua dari Santi
Posisi mereka masing-masing dalam keluarga adalah …
a. Orang tua: Ghani dan Kiki, anak: Arman dan Santi
b. Orang tua: Arman dan Kiki, anak: Ghani dan Santi
c. Orang tua: Ghani dan Santi, anak: Arman dan Kiki
d. Orang tua: Arman dan Santi, anak: Ghani dan Kiki
e. Terdapat lebih dari satu kemungkinan jawaban yang benar
Pembahasan
Karena hanya terdapat 2 pernyataan yang benar, maka 2 pernyataan lain bisa dipastikan salah. Cara yang mudah adalah dengan menguji opsi satu-persatu.
A. Orang tua: Ghani dan Kiki, anak: Arman dan Santi
Pernyataan pertama benar karena Ghani dan Santi adalah ayah dan anak.
Pernyataan kedua salah karena Arman (anak) lebih muda daripada Ghani (ayah) .
Pernyataan ketiga salah karena Kiki (ibu) lebih tua dari Arman (anak).
Pernyataan keempat benar karena Kiki (ibu) lebih tua dari Santi (anak).
Sehingga opsi A memiliki 2 pernyataan benar dan 2 pernyataan salah.
B. Orang tua: Arman dan Kiki, anak: Ghani dan Santi
Pernyataan pertama benar karena keduanya kakak beradik.
Pernyataan kedua benar karena Arman adalah ayah Ghani.
Pernyataan ketiga bisa benar dan bisa salah karena keduanya suami-istri.
Pernyataan keempat benar karena Kiki adalah ibu dari Santi.
Opsi ini salah karena ada lebih dari 2 pernyataan yang benar.
C. Orang tua: Ghani dan Santi, anak: Arman dan Kiki
Pernyataan pertama salah karena suami-istri tidak memiliki hubungan darah.
Pernyataan kedua salah karena Ghani yang lebih tua dari Arman.
Pernyataan ketiga bisa benar, bisa juga salah.
Pernyataan keempat salah karena Santi sebagai ibu harus lebih tua dari Kiki.
Karena kurang dari 2 pernyataan benar, maka opsi ini salah.
D. Orang tua: Arman dan Santi, anak: Ghani dan Kiki
Pernyataan pertama benar karena Ghani dan Santi adalah anak dan ibu.
Pernyataan kedua benar karena ayah lebih tua dari anak.
Pernyataan ketiga benar karena anak lebi muda dari ayah.
Pernyataan keempat salah karena anak harusnya lebih muda dari ibu.
Karena terdapat 3 pernyataan yang benar, maka opsi ini salah.
Dengan demikian opsi yang benar adalah a. Orang tua: Ghani dan Kiki, anak: Arman dan Santi.
Cara yang lama adalah dengan mencocokkan satu-persatu kemungkinan:
- Hanya pernyataan 1 & 2 yang benar
- Hanya pernyataan 1 & 3 yang benar
- Hanya pernyataan 1 & 4 yang benar
- Hanya pernyataan 2 & 3 yang benar
- Hanya pernyataan 2 & 4 yang benar
- Hanya pernyataan 3 & 4 yang benar
dan kombinasi yang memenuhi syarat adalah
Orang tua: Ghani dan Kiki, anak: Arman dan Santi.
Soal no 23 OSK 2008.
Budi, Joni dan Sardi masing-masing berprofesi salah satu dari 3 pekerjaan ini: dokter, pengacara, dan guru. Sang guru, yang merupakan anak tunggal, memperoleh gaji paling sedikit. Sardi, yang merupakan kakak ipar Budi, bergaji lebih banyak dari sang pengacara. Apabila ketiga orang tersebut memiliki profesi yang berbeda-beda, dapat disimpulkan bahwa… (komentar: kakak ipar bisa juga anak tunggal kalau ia suami dari saudara Budi !!!)
a. Budi adalah seorang pengacara dan Joni adalah seorang guru
b. Sardi adalah seorang pengacara dan Budi adalah seorang guru
c. Sardi adalah seorang dokter dan Joni adalah seorang guru
d. Ada lebih dari satu jawaban yang benar
e. Tidak ada jawaban yang benar
Pembahasan
Sardi memiliki gaji yang lebih besar dari pengacara yang berarti dia bukan seorang pengacara dan karena itu dia tidak memiliki gaji yang paling rendah (guru). Dengan demikian Sardi merupakan seorang dokter.
Sardi juga merupakan kakak ipar Budi yang berarti Budi memiliki saudara sehingga dia bukan anak tunggal (guru). Maka budi merupakan seorang pengacara sedangkan Joni merupakan seorang guru. Karena opsi A dan C benar, maka ada lebih dari satu jawaban yang benar (d).
Soal no 24 OSK 2008.
Bu Murni memiliki 3 anak: Andi, Budi dan Kardi. Ketika ditanya tentang usia ketiga anaknya, Bu Murni selalu menjawab dengan bahasa logika: ”Andi merupakan yang termuda, kecuali jika Budi merupakan anaknya yang termuda dan Kardi bukanlah anaknya yang termuda, maka Andi merupakan anaknya yang tertua”. Apabila ketiga anak Bu Murni itu tidak ada yang berusia sama, pernyataan logika yang pasti benar adalah…
a. Andi yang tertua
b. Jika ternyata Kardi yang termuda, maka Budi yang tertua
c. Budi yang termuda
d. Jika ternyata Budi bukan yang termuda, maka Kardi yang tertua
e. Jika ternyata Andi yang termuda, maka Budi yang tertua
Pembahasan
Bu Murni menyatakan bahwa Andi merupakan yang termuda sehingga kemungkinan urutan dari tertua adalah (Budi, Kardi dan Andi) atau (Kardi, Budi dan Andi). Namun ada pengecualian, sehingga terdapat kemungkinan lain. Jika Budi merupakan anak termuda (dan Kardi bukan yang termuda), maka Andi adalah yang tertua. Karena itu, kemungkinan lainnya Andi tertua, Kardi anak kedua dan Budi yang termuda.
(BKA, KBA, AKB)
Andi tidak selalu tertua, sehingga opsi A salah.
Tidak mungkin Kardi yang termuda.
Budi tidak selalu termuda, sehingga opsi C salah.
Jika Budi bukan yang termuda, maka kemungkinan yang tertua adalah Budi atau Kardi (BKA atau KBA), sehingga opsi D salah.
Jika Andi termuda, kemungkinan yang menjadi tertua adalah Budi atau Kardi, sehingga Budi belum tentu yang tertua dan opsi E salah.
Soal no 1 OSK 2019.
Ada berapa bilangan bulat prima atau genap antara 1 sampai 100 (inklusif) yang tidak dapat dibagi 5?
Pembahasan
Misalkan p adalah jumlah bilangan bulat genap dari 1 sampai 100 (p berjumlah 50).
q adalah jumlah bilangan prima dari 1 sampai 100 (q berjumlah 25).
p ∪ q = p + q – (p ∩ q)
p ∩ q adalah 2, karena 2 merupakan bilangan bulat prima yang juga bilangan genap. Sehingga
p ∪ q = 50 + 25 – 1
p ∪ q = 74
Untuk mencari banyak bilangan yang dimaksud soal, akan lebih mudah jika mencari negasinya, yaitu cari bilangan bulat prima yang habis dibagi 5 dan cari bilangan genap yang habis dibagi 5.
Bilangan bulat prima yang habis dibagi 5 berjumlah 1, yaitu 5 itu sendiri. Sedangkan bilangan genap yang habis dibagi 5 dari 1 sampai 100 berjumlah 10.
Dengan demikian, banyak bilangan bulat prima atau genap yang tidak habis dibagi 5 adalah 74 – 1 – 10 = 63 (a).
Soal no 5 OSK 2019.
Bilangan Harshad didefinisikan sebagai bilangan yang habis dibagi oleh hasil penjumlahan setiap digit dari bilangan itu sendiri. Contohnya bilangan 18, karena 18 habis dibagi oleh 9. Ada berapa banyak bilangan Harshad dari 1 sampai 50?
Pembahasan
Bilangan 1 digit sudah dipastikan merupakan bilangan harshad.
Bilangan harshad lain adalah 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50.
Dengan demikian jumlah seluruh bilangan adalah 23
Soal no 1 OSK 2015.
Pak Dengklek baru saja membuat sebuah koper. Koper tersebut memiliki sistem pengunci yang unik. Pada koper terdapat 10 tombol. Untuk membuka koper tersebut, pak Dengklek harus menekan 7 tombol yang berbeda dengan urutan tertentu. Berapa banyaknya kemungkinan urutan penekanan tombol yang ada?
Pembahasan
Hanya dipilih 7 tombol dari 10, sehingga banyaknya urutan penekanan tombol adalah permutasi 7 dari 10.
= 10!/(10-7)!
= 10x9x8x7x6x5x4
= 604800
Soal no 2 OSK 2015.
Bu Dengklek adalah seorang guru. Minggu depan, Bu Dengklek ingin membagikan permen kepada 7 orang muridnya, namun belum tentu semua muridnya datang ke sekolah pada minggu depan. Sebagai tambahan, Bu Dengklek ingin membagikan permen kepada murid-muridnya sama rata dan tidak bersisa. Berapakah jumlah permen minimal yang harus Bu Dengklek bawa minggu depan?
Pembahasan
Karena ada kemungkinan ada yang tidak berangkat, maka persiapkan permen untuk 1-7 anak, yaitu kpk dari 1,2,3,4,5,6 dan 7.Sehingga permen yang harus dibawa berjumlah 420.
Soal no 8 OSK 2015.
Suatu lomba maraton diikuti oleh empat kelompok: Melati, Mawar, Dahlia, dan Anggrek. Setiap kelompok mengirimkan lima pelari. Pelari yang masuk finish ke-1, 2, 3, 4, 5, 6 memperoleh nilai berturut-turut 7, 5, 4, 3, 2, 1. Nilai setiap kelompok adalah jumlah nilai kelima pelarinya. Kelompok dengan nilai terbesar adalah juara lomba. Di akhir lomba ternyata kelompok Dahlia menjadi juara dan tidak ada dua pelari yang masuk finish bersamaan. Berapa banyak kemungkinan nilai kelompok pemenang?
Pembahasan
Nilai total terbesar yang mungkin didapatkan oleh pemenang adalah 7+5+4+3+2 = 21, sedangkan nilai terkecil adalah 7. Sehingga ada 21-7+1 = 15 kemungkinan poin
Soal no 9 OSK 2015.
Ada berapa banyak bilangan 3-digit yang habis dibagi dengan 13?
Pembahasan
Bilangan 3 digit dimulai dari 100 dan dengan bilangan terbesarnya adalah 999. Oleh karena itu banyak bilangan 3 digit yang habis dibagi 13 adalah 999/13 – 100/13 = 76 – 7 = 69.
Soal no 10 OSK 2015.
Upik berulang tahun ke 20 pada hari Senin, 18 Mei 2015. Maka, pada hari apakah Upik lahir?
a. Senin
b. Selasa
c. Rabu
d. Kamis
e. Jumat
Pembahasan
Setiap 1 tahun bukan kabisat (365 hari), hari pada tanggal yang sama maju satu kali. Misal 1 januari tahun ini senin, maka 1 januari tahun depan adalah selasa.
Dalam 20 tahun terdapat 5 tahun kabisat, sehingga Upik lahir 20+5 hari sebelum hari senin.
Sama dengan 25 mod 7 (4) hari sebelum senin, yaitu kamis (d).
Soal no 11 OSK 2015.
Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 4 bola hijau, dan 4 bola biru. Pada setiap bola tertulis salah satu bilangan bulat antara 1 sampai 4. Tidak ada dua buah bola yang memiliki warna dan angka yang sama. Berapa banyak minimal bola yang harus diambil dari kotak agar pasti terdapat dua buah bola yang memiliki warna yang sama dan hasil penjumlahan angka-angka pada kedua bola tersebut adalah 5?
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
Pembahasan
Kemungkinan terburuk dalam pengambilan bola adalah mendapat 1 dan 2 atau 3 dan 4 untuk setiap warna bola. Sehingga pengambilan berikutnya dipastikan ada setidaknya satu yang sama. Dengan demikian minimal bola yang diambil adalah 7 bola (b).
Soal no 15 OSK 2015.
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 sampai dengan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Pembahasan
Banyak bilangan 1 sampai 100 yang bisa dibagi 3 ada 33.
Terdapat 20 bilangan yang bisa dibagi dengan 5.
Karena terdapat beberapa bilangan yang terhitung dua kali, maka banyaknya bilangan harus dikurangi bilangan-bilangan itu, yaitu kelipatan 15 (KPK dari 3 dan 5).
Dengan demikian banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 33 + 20 – 6 = 47.
Soal no 16 OSK 2015.
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 sampai dengan 100 yang tidak habis dibagi 3 atau tidak habis dibagi 5?
Pembahasan
Menurut hukum De Morgan, bukan A atau bukan B sama dengan bukan (A dan B).
A’ ∪ B’ = (A ∩ B)’
Untuk itu, cari terlebih dahulu bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 antara 1 sampai 100 dan didapatkan 6 bilangan. Sehingga bilangan yang yang dimaksud adalah 100-6 = 94.
Soal no 24 OSK 2015.
Pak Dengklek sedang mengamati 3 orang pekerja berinisial A, B, C. Dari hasil pengamatan, Pak Dengklek mendapatkan bahwa:
- Jika C tidak memiliki gaji terbesar, maka A yang memiliki gaji terbesar.
- Jika A tidak memiliki gaji terkecil, maka B yang memiliki gaji terbesar.
Berdasarkan hal itu, bagaimana urutan gaji pekerja mulai dari yang terbesar?
a. A,B,C
b. B,A,C
c. C,A,B
d. C,B,A
e. Tidak dapat ditentukan.
Pembahasan
A tidak mungkin memiliki gaji terbesar karena akan kontradiktif dengan pernyataan kedua. Sehingga C yang memiliki gaji terbesar.
Kemudian jika A tidak memiliki gaji terkecil, maka B yang seharusnya memiliki gaji terbesar. Agar tidak kontradiktif dengan pernyataan yang sudah ditentukan, maka A harus memiliki gaji terkecil agar B bukan yang memiliki gaji terbesar.
Dengan demikian urutan gaji dari terbesar adalah C,B,A (d).
